应试辅导：如何备考考研线性代数

应试辅导：如何备考考研线性代数

　　关于数学，特别是线性代数的复习备考，这里提出“早”、“纲”、“基”、“活”的四字方略，供理工类、经济类考生参考．  

一、“早”．提倡一个“早”字，是提醒考生考研数学备考要早计划、早安排、早动手．因为数学是一门思维严谨、逻辑性强、相对比较抽象的学科．和一些记忆性较多的学科不同，数学需要理解的概念多，方法又灵活多变，而理解概念，特别是理解比较抽象的概念是一个渐近的过程，它需要思考、消化，需要琢磨、需要从不同的角度、不同的侧面的深入研究，总之它需要时间，任何搞突击，搞速成的思想不可取，这对大多数考生而言，不可能取得成功；另一方面，早计划、早安排、早动手是采取“笨鸟先飞”之策，这是考研的激烈竞争现实所要求的，早一天准备，多一分成绩，多一份把握，现在不少大一、大二的在校生已经在准备  2  ～  3  年后的考研，这似乎是早了点，但作为一个目标、作为一个追求，无可非议．作为  2001  年的考生，从现在开始备考，恐怕已经不算太早了．  

二、“纲”．突出一个纲字，就是要认真研究考试大纲，要根据考试大纲规定的考试内容、考试要求、考试样题有计划地、认真地、全面地、系统地复习备考，加强备考的针对性．  

由于全国基础数学教材  (  高等数学，线性代数，概率论和数理统计  )  并不统一，各学校、各专业对这些课程要求的层次也各不相同，因此教育部并没有指定统一的教材或参考书作为命题的依据，而是以教育部制定的《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》  (  下称《大纲》  )  作为考试的法规性文件，命题以《大纲》为依据，考生备考复习当然也应以《大纲》为依据．  

为了让广大考生对“考什么”有一定的了解  (  不是盲目的备考  )  ，教育部考试中心命制的试题，每年都具有稳定性、连续性的特点．《大纲》提供的样题及历届试题也在于让考生了解“考什么”．历届试题中，从来没有出过偏题、怪题，也没有出过超过大纲范围的超纲题．当然，一份好的试题，首先要有好的区分度，使高水平考生考出好成绩，因此试题中难、易试题要有恰当的搭配；试题的总量必须有一定的限制，同时试题还要有尽可能大的覆盖面，因此一味地去做难题，甚至怪题、偏题是不可取的，“题海战术”不能替代全面、系统的复习，由于试题有极大的覆盖面，每年试题几乎都要覆盖所有的章节，因此偏废某部分内容也是不恰当的．任何“猜题”及侥幸心理都会导致失败．只有根据大纲，全面、系统地复习，不留遗漏，才不会留下遗憾．  

请广大考生留意，今年《大纲》有一定的变化：所有的近似计算取消了，特别是数学试卷二，“线性代数初步”中取消了“初步”两字，增考了“特征值、特征向量”一章的内容．  

三、“基”．强调一个“基”字，是指要强调数学学习中的三基，即要重视基本概念的理解，基本方法的掌握，基本运算的熟练．  

基本概念理解不透彻，对解题会带来思维上的困难和混乱．因此对概念必须搞清它的内涵，还要研究它的外延，要理解正面的含义，还要思考、理解概念的侧面、反面．例如关于矩阵的秩，教材中的定义是：  A  是阴  Xn  矩阵，若  A  中有一个  r  阶子式不为零，所有  r  阶以上子式  (  如果它还有的话  )  均为零，则称  A  的秩为  r  ，记成  rank(A)  ：  r(  或  r(A)  ＝  r  ，秩  A  ＝  r)  ．显然，定义中内涵的要点有：  1  ．  A  中至少有一个  r  阶子式不为零；  2  ．所有  r  阶以上均为零．  3  ．若所有  r+1  子式都为零，则必有所有  r  阶以上子式均为零．要点  2  和  3  是等价条件，至于  r  阶子式是否可以为零？小于  r  阶的子式是否可以为零  ?  所有  r-1  阶的子式是否可以全部为零？这些都是秩的概念的外延内容，如果这些概念搞清楚了。那么下述选择题就会迎刃而解．  

例  1  设  A  是  m  ×  n  矩阵，  r(A)  ＝  r  

(B)  有不等于零的  r  阶子式，没有不等于零的  r+1  阶子式．  

(C)  有等于零的  r  阶子式，没有不等于零的  r+1  阶子式．  

(D)  任何  r  阶子式不等于零，任何  r+1  阶子式都等于零．  

答案：  (B)  

基本方法要熟练掌握．熟练掌握不等于死记硬背，相反要抓问题的实质，要在理解的基础上适当记忆．把需要记忆的东西缩小到最低限度，很多方法可以通过练习来记住，例如一个实对称矩阵，一定存在正交矩阵，通过正交变换化为对角阵，其步骤较多，但通过练习，不难解决．  

基本计算要熟练．学习数学，离不开计算，计算要熟练，当然要做一定数量的习题，通过一定数量的习题，把计算的基本功练扎实．在练习过程中，自觉的提高运算能力，提高运算的准确性，养成良好的运算习惯和科学作风．特别对线性代数而言，运算并不复杂，大量的运算是大家早已熟练了的加法和乘法，从而养成良好的运算习惯和科学作风显得尤为重要。例如线性代数的前四章中  (  行列式、矩阵、向量、方程组  )  绝大多数的运算是初等变换．用初等变换求行列式的值、求逆矩阵、求向量组  (  或矩阵  )  的秩、求向量组的极大线性无关组、求方程组的解等．可以想象，一旦初等变换过程中出现某个数值计算错误，那你的答案将是什么样的结果？从历届数学试题来看，每年需要通过计算得分的内容均在  70%  左右，可见计算能力培养的重要．只听  (  听各种辅导班  )  不练，只看  (  看各类辅导资料  )  不练，眼高手低，专找难题做，这并不适合一般考生的情况，在历届考生中，不乏有教训惨痛的人．  

四、“活”．线性代数中概念多、定理多、符号多、运算规律多，内容相互纵横交错，知识前后紧密联系是线性代数课程的特点，故考生应通过全面系统的复习，充分理解概念，掌握定理的条件、结论及应用，熟悉符号的意义，掌握各种运算规律、计算方法，并及时进行总结，抓联系，抓规律，使零散的知识点串起来、连起来，使所学知识融会贯通，实现一个“活”字．  

线性代数各章节的内容，不是孤立割裂的，而是相互渗透、紧密联系的．如  A  是  n  阶方阵，若，｜  A  ｜≠  0(  称  A  为非奇阵  )  ．  <=>A  是可逆阵．  <=>  有  n  阶方阵  B  ，使得  AB=BA=E  ．  <=>B=A-1  ＝  A*  ／｜  A  ｜．  <=>r(A)=n(  称  A  是满秩阵  )  ．  <=>  存在若干个初等阵  P1  ，  P2  ，…，  PN  ，使得  PNPN-1  …  P1A=E  ．  <=>(A  ┆  E)  →  (E  ┆  A-1)  ．  <=>A  可表示成若干个可逆阵的乘积．  <=>A  可表示成若干个初等阵的积。  <=>A  的列向量组线性无关  (  列满秩  )  ．  <=>AX=0  ，唯一零解．  <=>A  的行向量组线性无关  (  行满秩  )  ．  <=>A  的列  (  行  )  向量组是  Rn  空间的基．  <=>  任何  n  维列向量  b  均可由  A  的列向量线性表出  (  且表出法唯一  )  ．  <=>  对任意的列向量  b  ，方程组  AX  ＝  b  有唯一解，且唯一解为  A-1b<=>A  没有零特征值，即λ  i  ≠  O  ，  i  ＝  1  ，  2  ，…，  n  ．  <=A  是正定阵  (  正交阵，…  )  ．  这种知识间的相互联系、渗透，给综合命题创造了条件，同样一个试题，可以从不同的角度有多种命制试题的方法．  

例  2  (2001  年数学一第九题  )  设α  1  ，α  2  ，…，α  s  ，是线性方程组  AX  ＝  0  的基础解系，β  1  ＝  t1  α  1+t2  α  2  ，β  2  ＝  t1  α  2+t2  α  3  ，…，β  s  ＝  t1  α  s+t2  α  1  ，试问  t1  ，  t2  满足什么条件时，β  1  ，β  2  ，…，β  s  也是  AX=0  的基础解系．  

解析  本题的答题要点是：  (1)  对任意  t1  ，  t2  ，β  i  ，  i  ＝  1  ，  2  ，…，  s  仍是  AX  ＝  0  的解；  (2)  对任意  t1  ，  t2  ，β  1  ，β  2  ，…，β  s  向量个数是  s  ；  (3)  β  1  ，β  2  ，…，β  s  ，线性无关  <=>t1s+(  一  1)n+1t2s  ≠  0  ．  满足  (1)  、  (2)  、  (3)  时，即，  t1s+(  一  1)n+1t2s  一  1)  ”≠  0  时，β  1  ，β  2  ，…，β  s  仍是  AX  ＝  0  的基础解系．  

变式  (1)  (  改变成线性相关性试题  )  

已知向量组α  1  ，α  2  ，…，α  s  线性无关，β  1  ＝  t1  α  1+t2  α  2  ，β  2  ＝  t1  α  2+  t2  α  3  ，…，β  s  ＝  t1  α  s+t2  α  1  ，试问  t1  ，  t2  满足什么条件时，β  1  ，β  2  ，…，β  s  线性无关．  

变式  (2)  (  改变成向量组的秩的试题  )  

已知向量组α  1  ，α  2  ，…，α  s  的秩为  s  ．β  1  ＝  t1  α  1+t2  α  2  ，β  2  ＝  t1  α  2+t2  α  3  ，…，β  s  ＝  t1  α  s+  t2  α  1  ，试问  t1  ，  t2  满足什么条件时，  r(  β  1  ，β  2  ，…，β  s)  ＝  s  ．  

变式  (3)  (  改变成等价向量组的试题  )  

已知α  1  ，α  2  ，…，α  s  线性无关，β  1  ＝  t1  α  1+t2  α  2  ，β  2  ＝  t1  α  2+t2  α  3  ，…，β  s  ＝  t1  α  s+t2  α  1  ，试问  t1  ，  t2  满足什么条件时，β  1  ，β  2  ，…，β  s  和α  1  ，α  2  ，…，α  s  是等价向量组．  

变式  (4)  (  改变成子空间的基的试题  )