由数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有多少个？

【思路】 5！/2=300

用排列组合的对称思想可以理解上面的解法,举个简单例子：5个人排队，甲必须排在乙左边的排法？5人全排列时，甲不在乙的左边就在乙的右边，故排法是1/2*5！。

袋子中标号1-9的球，从中不放回取4个，求所取的4个球标号和的期望。（E=20）

【思路】记xi为第i次取的球，i=1，2，3，4
E(Y=x1+x2+x3+x4)=E(x1)+E(x2)+E(x3)+E(x4)=4*(1/9)*(1+2+3+...+9)=20

（这道题有放回和无放回的答案相同）

设n个人排成一排，甲乙是其中两个人，求这n个人的任意排列中，甲乙之间恰有r个人的概率。

【思路1】1、先将甲、乙2人排列：P（2，2）
2、甲乙之间R人：P（r,n-2）
3、将甲乙及之间r人看作一整体，与其他n-r-2做排列
所求P=P（2，2）*P（r,n-2）*(n-r-1)!/n!=2*(n-r-1)/n(n-1)

【思路2】P= =

袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出3球，求
(1)、顺序为黑白黑的概率
(2)、2只黑球的概率
(3)、有放回的取3次，求取得两只黑球的概率。

【思路】(1) P=6*5*5/11*10*9=5/33
(2) P=C(2,5)C(1,5)/C(3,11)=5/11
用组合式子：陆续取3球等价于一次取三球，有2球为黑的概率，不考虑顺序
也可以用排列式子，相当于黑白黑+黑黑白+白黑黑之和
3*6*5*5/11*10*9

有15球，5个为白球，把它们随机装进5个盒子，每盒3个，记X为有白球的盒子数，则E（X）=？

【思路】15个球放入5个盒子，每盒3个，共有 c(3,15)*c(3,12)*c(3,9)*c(3,6)*c(3,3)种
设 xi=1，第i个盒子内有白球 ,
xi=0，第i个盒子内无白球(i=1,2,3,4,5)
xi=1时，第i个盒子内可能有白球1，2，或3个
对应的可能为c(1,5)c(2,10)*c(3,12)*c(3,9)*c(3,6)*c(3,3)种,
c(2,5)c(1,10)*c(3,12)*c(3,9)*c(3,6)*c(3,3)种，和c(3,5)*c(0,10)*c(3,12)*c(3,9)*c(3,6)*c(3,3)种 。
也可以先求xi=0;对应为c(0,5)c(3,10)*c(3,12)*c(3,9)*c(3,6)*c(3,3)种 .
P{xi=1}=1-p{xi=0}=67/91;
E(xi)=67/91
故有白球的盒子个数位E(x1+x2+x3+x4+x5)=5*67/91=3.68

在n*n个小格子的棋盘上,随机地划出由若干个小方格组成的矩形,求:恰好组成正方形的概率.

【思路】设xi=i,yj=j为取出的矩形的长和宽。
则i=1,2,3,....n;j=1,2,3,...n.
x1有n-1+1=n种可能，x2有n-2+1种可能，...xn有n-n+1=1种可能
共有n+(n-1)+...+1=n(n+1)/2
故p{xi=i}=(n-i+1)/(n(n+1)/2)
同理P{yj=j}=(n-j+1)/(n(n+1)/2)
正方形为i=j
p{x=i,y=i}=P{x=i}P{y=i}
P{正方形}=∑p{x=i,y=i}=∑(n+1-i) ²/(n(n+1）/2)^2i=1,2,3,....,n
因为∑(n-i+1) ²=n ²+(n-1) ²+....+1=n(n+1)(2n+1)/6
所以P{正方形}=(n(n+1)(2n+1)/6)/(n(n+1）/2) ²=

10个相同的小球放入编号为1、2、3的三个盒子内，要求每个盒子的球数不小于它的编号数，则不同的放法共有（）种？

【思路1】1号盒子可以放1—5个球，2号盒子可以放2—6个球，3号盒子可以放3—7个球，我的答案共15种。

【思路2】三个盒子必须分别至少放1，2，3个球，剩下4 个不同的放法即所求数。
1， 只放在一个盒 子中：C（3，1）
2， 放在两个盒子中：C（3，2）*3
3， 放在三个盒子中：C（3，1）
此三项相加得15。

648的正约数的个数是______。(20)

648=2³*3⁴
【思路】正约数为4*5=20个.

（2有3个,共有取0,1,2,3个四种可能.
3有4个,共有取0,1,2,3,4个5种可能.    所以4*5=20）

5ⁿ + 13ⁿ （ n 是偶数）除以3的余数是_____。 (2)

【思路】5ⁿ =(6-1) ⁿ = (-1) ⁿ =1,13 ⁿ =(12+1) ⁿ =1 ⁿ =1 余2

设集合A的元素个数为 ，则集合A的含奇数个元素的子集的个数是 ______。

【思路】c(1,n)+c(3,n)+....=1/2*[c(0,n)+c(1,n)+c(2,n)+...+c(n,n)]=1/2*2 ⁿ =2 ^n-1