1、2、3、4，……，20这20个自然数中任选3个不同的数，使它们成为等差数列，则这样的等差数列最多有？

【思路】因为三个数要组成等差数列，那么a1+a3=2*a2，也就是说a1和a3的和必须是偶数，那只有两种可能，两个数都是偶数，两个数都是奇数，而且a1和a3的位置可以颠倒，所以答案是：  + =180

 91⁹²除以100的余数是多少？

【思路】91⁹²=（9-100）⁹²用二次项展开，丢掉带100乘方项，得9⁹²
9⁹²=(1-10) ⁹²   第三项以后的都能被100整除，丢掉第三项以后的，得1-92*10=-919,
余数为-19，这个当然不对啦，应该是正81.

 已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数，且它的前三项
a1=-2,a2=2,a3=6,则a100=?

【思路】由题意设：Sn=A*n²+B*n+C
然后可得以下三个方程：
A+B+C=a1=-2
4A+2B+C=a1+a2=0
9A+3B+C=a1+a2+a3=6
解得：A=2；B=-4；C=0
所以 a100=S100-S99=2*10000-4*100-(2*99*99-4*99)=394

 {an}为各项均为正数的等比数列，Sn=80,前n项中数值最大的项为54，S2n=6560,求a1和公比q的值。

【思路】由题意可得：a1>0, q>1,

a1*q^n-1=54
(a1-a1*q ⁿ)/(1-q)=80
(a1-a1*q ²ⁿ)/(1-q)=6560            解得：a1=2；q=3；n=4

 等比数列{an}的前n项和等于2，紧接在后面的2n项和等于12，再紧接其后的3n项和为S,求S.   

【思路】由题意可以设出一个等比数列：a1,a2,a3,a4,a5,a6(等比为q,a1=a)使得
a1=2=a
a2+a3=12=a*(q+q*q)
a4+a5+a6=s=a*q^3*(1+q+q*q)
（等比数列的相临每n项和仍是成等比数列.）
由1和2式可得 a=2,q=2或-3
代入3式得，S=112或-378

 两个随机变量X和Y，若E（XY）=E（X）*E（Y），则
（A） D（XY）=D（X）D（Y） （B） D（X+Y）=D（X）+D（Y）
（C） X和Y独立              （D）X和Y不独立  

某人写了n封不同的信，寄往n个不同的地址，现将这n封信随意插入n个不同地址的信封，求至少有一封信插对的概率。

【思路】Ai=表示有i封投对,i=1,2……n   B=至少有一封信投对
P（B）=P(A1+A2+……+An)=（i从1到n)  

P（AiAj)+……+(-1) ^n-1P(Ai1*Ai2*……*Ain)
又因为若有i封信投对，则剩下的n-i封信投不对，有(n-i)!种方法。
所以P(Ai1*Ai2*……*Aik)=（n-k)!/n!
又因为  P(Ai1*Ai2*……*Aik)共有Ｃ（n,k)=n!/k!(n-k)!项．
所以 P(Ai1*Ai2*……*Aik)＝Ｃ(n,k)*(n-k)!/n!=1/k!
P(B)=1-1/2!+1/3!+……＋（－１) ^n-1*(1/n!)
=1-e^-1=0.632

 求a为实数，n趋于无穷时
 [(1+ ) +(1+ ) +...+(1 + ) ]的极限

【思路】这题略需技巧，如下：
原式=a  =2a/3*[2 -1]

一辆公共汽车送20名乘客到10个站，假设每一名乘客都等可能地在任一站下车，并且他们下车与否相互独立。公共汽车只有当有人要下车时才停车，求该公共汽车停车次数X的数学期望。

【思路】设Ai=1,Ai=0（i=1,2,...,10）分别为第i站有人下车、无人下车；
Ai=0即20人全在其他9站下车，概率为（9/10) ²⁰；
P（Ai=1）=1-(9/10) ²⁰;
E(Ai=1)=1-(9/10) ²⁰;
由旅客独立性可知
E(X)=E(A1+A2+....+A10)=10*（1-（9/10）²⁰）

50个铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱。每个部件用3只铆钉。若将3只强度太弱地铆钉都装在一个部件上，则这个部件就强度太弱，问发生一个部件强度太弱地概率是多少？

【思路】设Hi(i=1,2,3)为取出的30个铆钉包括有i个弱铆钉的概率；
B1为3个弱铆钉恰好钉在一块，B2为3个弱铆钉不钉在一块；
A为发生一个部件强度太弱
HiBj(i=1,2,3;j=1,2)构成一个完备事件(Hi(i=1,2,3),Bj(j=1,2)分别构成一个完备事件)；
用全概公式:
P(A)等于P(A/HiBj)*P(HiBj)的和；
注意:P(A/HiBj)＝0（i!=3或j!=1）;P(A/H3B1)=1
故只需求P(H3B1)＝P(H3)P(B1)
A1发生的条件为H3B1的交，即
P（H3）=[C(3,3)*C(27,47)]/C(30,50)
P(B1)中:所有可能取法为C(3,30)C(3,27)...C(3,3); 有利取法为C(1,10)C(3,27)...C(3,3)
P(B1)=C(1,10)/C(3,30)
P(A)=P(A/H3B1)*P(H3B1)=[C(3,3)*C(27,47)*C(1,10)]/[C(3,30)1C(30,50)]=1/3960

 一批产品，共有10个正品，2个次品。任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不放回，则第二次抽出的是次品的概率为？

【思路1】抽到次品的概率与抽的先后次序无关，所以是最简单的2/12＝1/6。和抓阄原理一样.

【思路2】P=[C(1,10)*C(2,1)+P(2,2)]/P(2,10)=1/6